题目内容
【题目】（问题解决）
（1）如图①，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．试判断∠ABC与∠ACN的大小关系．并说明理由．
（类比探究）
（2）如图②在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
（拓展延伸）
（3）若点M是CB延长线上的任意一点（不含端点B），请直接写出∠ACN的度数．
【答案】（1）∠ABC＝∠CAN，理由见解析；（2）∠ABC＝∠ACN仍成立，理由见解析；（3）∠ACN＝120°，理由见解析
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可得：AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，从而证出∠BAM＝∠CAN，再利用SAS证出△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可证出∠ABC＝∠ACN；
（2）原理同上；
（3）由题意先画出图形，根据等边三角形的性质可得：AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，从而证出∠BAM＝∠CAN，∠ABM＝120°，再利用SAS证出△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可证出∠ABM＝∠ACN＝120°；
（1）∠ABC＝∠ACN；理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN；
（2）∠ABC＝∠ACN仍成立；理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN；
（3）∠ACN＝120°，理由如下：
如图③所示：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，∠ABM＝120°，
∵在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABM＝∠ACN＝120°．
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