题目内容
【题目】请阅读下列材料：
问题：如图，在正方形
和平行四边形
中，点
，
，
在同一条直线上，
是线段
的中点，连接
，
．
探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长
交
于点
，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）与的夹角为________度时，四边形是正方形．
理由：
【答案】(1)详见解析；（2）90.
【解析】
（1）由正方形ABCD，易得∠EBG＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证得四边形BEFG是矩形；
（2）首先作辅助线：延长GP交DC于点H，根据正方形与平行四边形的性质，利用AAS易得△DHP≌△FGP，则有HP＝GP，当∠CPG＝90°时，利用SAS易证△CPH≌△CPG，根据全等三角形与正方形的性质，即可得BG＝GF，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得BEFG是菱形，而∠EBG＝90°，即得四边形BEFG是正方形．
（1）∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝90°，
∴BEFG是矩形；
（2）90°；
理由：延长GP交DC于点H，
∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP＝FP，
∴△DHP≌△FGP，
∴HP＝GP，
当∠CPG＝90°时，∠CPH＝∠CPG，
∵CP＝CP，
∴△CPH≌△CPG，
∴CH＝CG，
∵正方形ABCD中，DC＝BC，
∴DH＝BG，
∵△DHP≌△FGP，
∴DH＝GF，
∴BG＝GF，
∴BEFG是菱形，
由（1）知四边形BEFG是矩形，
∴四边形BEFG是正方形．
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