题目内容
如图,已知,正△A1B1C1的外接圆⊙O内切于正△ABC,若△ABC的面积是4,则阴影部分的面积是( )
A.2
B.
C.2
D.+π
【答案】分析:解法(1)连接AO延长交BC于D,连接OB、OC1,过O作OE⊥A1C1于E,设正△ABC的边长是a,则BD=CD=a,根据等边三角形的性质求出OD、AD,根据三角形的面积公式和勾股定理求出BC、AD、OD,根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质求出DE、EC1,进一步求出A1C1及边上的高,根据三角形的面积公式求出△A1B1C1的面积,根据式子×(△ABC的面积-△A1B1C1的面积),代入求出即可.
解法(2)连接MN,根据旋转得到阴影部分的面积等于△BMN的面积,求出△BMN的面积即可.
解答:解:解法(1)
连接AO延长交BC于D,连接OB、OC1,过O作OE⊥A1C1于E,
∵正三角形ABC,
∴AD⊥BC,BD=DC,
设正△ABC的边长是a,则BD=CD=a,
根据勾股定理得:AD=a,
∵△ABC的面积是4,
∴×a×a=4,
∴a=4,
∴BD=2,
∵O是正△ABC的内切圆的圆心,
∴∠OBC=×60°=30°,
∴OD=BO,
由勾股定理得:OD=,
∴C10=,
同法可求:OE=OC1=,
C1E=A1E=1,
∴A1C1=2,
A1C1边上的高是3×=,
∴△A1B1C1的面积是×2×=,
∴阴影部分的面积是×(△ABC的面积-△A1B1C1的面积)=×(4-)=,
解法(2)
连接MN,
由(1)可知:BN=BD=2,
同法可求BN上的高MH=,
∴根据旋转得出:阴影部分的面积=△BMN的面积=BN×MH=×2×=.
故选B.
点评:本题主要考查对三角形的内角和定理,等腰三角形的性质和判定,等边三角形的性质,三角形的面积,三角形的内切圆与内心,三角形的外接圆与外心,含30度得直角三角形的性质,勾股定理,三角形的面积等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.
解法(2)连接MN,根据旋转得到阴影部分的面积等于△BMN的面积,求出△BMN的面积即可.
解答:解:解法(1)
连接AO延长交BC于D,连接OB、OC1,过O作OE⊥A1C1于E,
∵正三角形ABC,
∴AD⊥BC,BD=DC,
设正△ABC的边长是a,则BD=CD=a,
根据勾股定理得:AD=a,
∵△ABC的面积是4,
∴×a×a=4,
∴a=4,
∴BD=2,
∵O是正△ABC的内切圆的圆心,
∴∠OBC=×60°=30°,
∴OD=BO,
由勾股定理得:OD=,
∴C10=,
同法可求:OE=OC1=,
C1E=A1E=1,
∴A1C1=2,
A1C1边上的高是3×=,
∴△A1B1C1的面积是×2×=,
∴阴影部分的面积是×(△ABC的面积-△A1B1C1的面积)=×(4-)=,
解法(2)
连接MN,
由(1)可知:BN=BD=2,
同法可求BN上的高MH=,
∴根据旋转得出:阴影部分的面积=△BMN的面积=BN×MH=×2×=.
故选B.
点评:本题主要考查对三角形的内角和定理,等腰三角形的性质和判定,等边三角形的性质,三角形的面积,三角形的内切圆与内心,三角形的外接圆与外心,含30度得直角三角形的性质,勾股定理,三角形的面积等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.
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