Question

如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A₁，B₁，C₁，D₁，E₁，F₁分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S．

Answer 1

分析：要求阴影部分的面积，根据正六边形的性质发现6个阴影部分全等，只需求得一个阴影部分的面积．根据正六边形的性质发现该三角形是边长为1的120°的等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一性质以及解直角三角形的知识即可求解．

解答：解：∵六边形ABCDEF是正六边形．
∴∠B=120°．
又∵点A₁，B₁分别为AB，BC边的中点．
∴BA₁=BB₁=1cm，∠BA₁B₁=30°．
过点B作BM⊥A₁B₁，垂足为M，
∴BM=

1

2

BA₁，A₁B₁=2A₁M．
又∵BA₁=1cm，
∴BM=

1

2

cm，
由勾股定理得：A₁M=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
A₁B₁=2A₁M=

3

cm．
∴S_△BA1B1=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

（cm²）．
同理：S_△DC1D1=S_△FE1F1=

3

4

（cm²）
故阴影部分的总面积S=3×

3

4

=

3 3

4

（cm²）．

点评：此题主要是熟悉正六边形的性质、等腰三角形的性质以及30°的直角三角形的性质．