题目内容
(2010•资阳)如图,已知点A1,A2,…,A2011在函数y=x2位于第二象限的图象上,点B1,B2,…,B2011在函数y=x2位于第一象限的图象上,点C1,C2,…,C2011在y轴的正半轴上,若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2,…,C2010A2011C2011B2011都是正方形,则正方形C2010A2011C2011B2011的边长为( )
分析:根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°,然后表示出OB1的解析式,再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标,然后求出OB1的长,再根据正方形的性质求出OC1,表示出C1B2的解析式,与抛物线联立求出B2的坐标,然后求出C1B2的长,再求出C1C2的长,然后表示出C2B3的解析式,与抛物线联立求出B3的坐标,然后求出C2B3的长,从而根据边长的变化规律解答即可.
解答:解:∵OA1C1B1是正方形,
∴OB1与y轴的夹角为45°,
∴OB1的解析式为y=x,
联立
,
解得
,
,
∴点B1(1,1),
OB1=
=
,
∵OA1C1B1是正方形,
∴OC1=
OB1=
×
=2,
∵C1A2C2B2是正方形,
∴C1B2的解析式为y=x+2,
联立
,
解得
,
,
∴点B2(2,4),
C1B2=
=2
,
∵C1A2C2B2是正方形,
∴C1C2=
C1B2=
×2
=4,
∴C2B3的解析式为y=x+(4+2)=x+6,
联立
,
解得
,
,
∴点B3(3,9),
C2B3=
=3
,
…,
依此类推,正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=2011
.
故选D.
∴OB1与y轴的夹角为45°,
∴OB1的解析式为y=x,
联立
|
解得
|
|
∴点B1(1,1),
OB1=
12+12 |
2 |
∵OA1C1B1是正方形,
∴OC1=
2 |
2 |
2 |
∵C1A2C2B2是正方形,
∴C1B2的解析式为y=x+2,
联立
|
解得
|
|
∴点B2(2,4),
C1B2=
22+(4-2)2 |
2 |
∵C1A2C2B2是正方形,
∴C1C2=
2 |
2 |
2 |
∴C2B3的解析式为y=x+(4+2)=x+6,
联立
|
解得
|
|
∴点B3(3,9),
C2B3=
32+(9-6)2 |
2 |
…,
依此类推,正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=2011
2 |
故选D.
点评:本题考查了二次函数的对称性,正方形的性质,表示出正方形的边长所在直线的解析式,与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标,从而求出边长是解题的关键.
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