题目内容
如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k>1),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c=a1,求证:a=kc;
(2)若c=a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数,并加以说明;
(3)若b=a1,c=b1,是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2?请说明理由.
分析:(1)已知了两个三角形的相似比为k,则对应边a=ka1,将所给的条件等量代换即可得到所求的结论;
(2)此题是开放题,可先选取△ABC的三边长,然后以c的长作为a1的值,再根据相似比得到△A1B1C1的另外两边的长,只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可;
(3)首先根据已知条件求出a、b与c的关系,然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立.
(2)此题是开放题,可先选取△ABC的三边长,然后以c的长作为a1的值,再根据相似比得到△A1B1C1的另外两边的长,只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可;
(3)首先根据已知条件求出a、b与c的关系,然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立.
解答:(1)证明:∵△ABC∽△A1B1C1,且相似比为k(k>1),
∴
=k,a=ka1;
又∵c=a1,
∴a=kc;
(2)解:取a=8,b=6,c=4,同时取a1=4,b1=3,c1=2;
此时
=
=
=2,
∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1;
(3)解:不存在这样的△ABC和△A1B1C1,理由如下:
若k=2,则a=2a1,b=2b1,c=2c1;
又∵b=a1,c=b1,
∴a=2a1=2b=4b1=4c;
∴b=2c;
∴b+c=2c+c<4c,4c=a,b+c<a,而应该是b+c>a;
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1,使得k=2.
∴
a |
a1 |
又∵c=a1,
∴a=kc;
(2)解:取a=8,b=6,c=4,同时取a1=4,b1=3,c1=2;
此时
a |
a1 |
b |
b1 |
c |
c1 |
∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1;
(3)解:不存在这样的△ABC和△A1B1C1,理由如下:
若k=2,则a=2a1,b=2b1,c=2c1;
又∵b=a1,c=b1,
∴a=2a1=2b=4b1=4c;
∴b=2c;
∴b+c=2c+c<4c,4c=a,b+c<a,而应该是b+c>a;
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1,使得k=2.
点评:此题主要考查的是相似三角形的性质及三角形三边关系定理的应用.
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