题目内容
【题目】(本小题满分10分)
如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求证:直线DM是⊙O的切线;
(2)求证:DE2=DF·DA.
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析:(1)连接DO,并延长交⊙O于点G,连接BG;易证∠BAD=∠DAC;根据圆周角定理可得∠G=∠BAD;即可得∠MDB=∠G;由∠G+∠BDG=90°,∠MDB+∠BDG=90°即可得直线DM是⊙O的切线;(2)连接BE,先证∠EBD=∠BED,即可得DB=DE,再证△DBF∽△DAB,根据相似三角形的性质可得BD2=DF·DA,所以DE2=DF·DA.
试题解析:
证明:(1)如图1,连接DO,并延长交⊙O于点G,连接BG;
∵点E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵∠G=∠BAD,∴∠MDB=∠G,
∵DG为⊙O的直径,∴∠GBD=90°,∴∠G+∠BDG=90°.
∴∠MDB+∠BDG=90°.∴直线DM是⊙O的切线;
(2)如图2,连接BE.
∵点E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD,∠CBD=∠CAD.
∴∠EBD=∠BED,
∴DB=DE.
∵∠CBD=∠BAD,∠ADB=∠ADB,
∴△DBF∽△DAB,
∴BD2=DF·DA.
∴DE2=DF·DA.
练习册系列答案
相关题目