Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y= （x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积；
（3）Q是反比例函数y= （x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．

Answer 1

【答案】
（1）解：点P在线段AB上，理由如下：

∵点O在⊙P上，且∠AOB=90°，

∴AB是⊙P的直径，

∴点P在线段AB上

（2）解：过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，

由题意可知PP1、PP2，是△AOB的中位线，

故S△AOB= OA×OB= ×2PP1×2PP2，

∵P是反比例函数y= （x＞0）图象上的任意一点，

∴S△AOB= OA×OB= ×2PP1×2PP2=2PP1×PP2=12

（3）证明：如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON=S△AOB=12．

∴OAOB=OMON，

∴ ，

∵∠AON=∠MOB，

∴△AON∽△MOB，

∴∠OAN=∠OMB，

∴AN∥MB．

【解析】（1）点P在线段AB上，由O在⊙P上，且∠AOB=90°得到AB是⊙P的直径，由此即可证明点P在线段AB上；（2）如图，过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线，故S△AOB= OA×OB= ×2PP1×PP2而P是反比例函数y= （x＞0）图象上的任意一点，由此即可求出PP1×PP2=6，代入前面的等式即可求出S△AOB；（3）如图，连接MN，根据（1）（2）则得到MN过点Q，且S△MON=S△AOB=12，然后利用三角形的面积公式得到OAOB=OMON，然后证明△AON∽△MOB，最后利用相似三角形的性质即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了三角形中位线定理和圆周角定理的相关知识点，需要掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．