Question

【题目】如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；沿CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图 ⑥）．
（1）求图 ②中∠BCB′的大小；
（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由折叠的性质知：B′C=BC，

在Rt△B′FC中，

∵FC是斜边B′C的一半，

∴∠FB′C=30°，

∴∠BCB′=60°

即∠BCB′=60°

（2）解：图⑥中的△CGC'是正三角形

理由如下：

∵GC平分∠BCB′，

∴∠GCB= ∠GCC′= ∠BCB′=30°，

∴∠GCC′=∠BCD﹣∠BCG=60°，

由折叠的性质知：GH是线段CC′的对称轴，

∴GC′=GC，

∴△GCC′是正三角形

【解析】（1）由折叠的性质知：B′C=BC，然后在Rt△B′FC中，含30°角的直角三角形的性质，即可求得∠BCB′的度数；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB′，即可求得∠GCC′的度数，然后由折叠的性质知：GH是线段CC′的对称轴，可得GC′=GC，即可得△GCC′是正三角形．
【考点精析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）和解直角三角形的相关知识点，需要掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．