题目内容

【题目】已知是直角三角形,,直线经过点,分别过点向直线作垂线,垂足分别为.

1)如图1,当点位于直线的同侧时,证明:.

2)如图2,若点在直线的异侧,其它条件不变,是否依然成立?请说明理由.

3)图形变式:如图3,锐角中,,直线经过点,点分别在直线上,点位于的同一侧,如果,请找到图中的全等三角形,并直接写出线段的数量关系.

【答案】1)详见解析;(2)详见解析;(3.

【解析】

1)易证∠ABD=CAE,由AAS即可得出△ABD≌△CAE
2)易证∠ABD=CAE,由AAS即可得出△ABD≌△CAE
3)由∠CEA=ADB=BAC,根据三角形内角和定理和平角的定义可得∠ECA+EAC=EAC+DAB,得出∠DAB=ECA,由AAS即可证得△ABD≌△CAE,得出AD=ECDB=AE,则ED=EC+DB

解:(1)在中,

,∴,∴.

又∵

.

2)在中,

,∴,∴

.

3.

理由如下:
∵∠CEA=∠ADB=∠BAC,
∴∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB,
∴∠DAB=∠ECA,
在△ABD和△CAE中,


∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴AD=EC,DB=AE,
∴ED=AD+AE=EC+DB.

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