Question

如图，D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连接AD，以AD为一边作等腰直角△ADE，DE为斜边，连接CE．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）设BD=x，若AB=；
①当△DCE的面积为1.5时，求x的值；
②试问：△DCE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并指出此时x的取值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵BC、DE分别是两个等腰直角△ADE、△ABC的斜边，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC=90°，
∴∠CAE=∠BAD．
在△ACE和△ABD中，

∴△ACE≌△ABD（SAS）．

解：（2）①∵AC=AB=，
∴BC ²=AC²+AB²=，
∴BC=4．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，同理∠ACE=45°，
∴∠DCE=90度．
∵△ACE≌△ABD，
∴CE=BD=x，而BC=4，
∴DC=4-x，
∴Rt△DCE的面积为DC•CE=（4-x）x．
∴（4-x）x=1.5
即x²-4x+3=0．
解得x=1或x=3．
②△DCE存在最大值，理由如下：
设△DCE的面积为y，于是得y与x的函数关系式为：
y=（4-x）x（0＜x＜4）
=-（x-2）²+2
∵a=-＜0，∴当x=2时，函数y有最大值2．
又∵x满足关系式0＜x＜4，
故当x=2时，△DCE的最大面积为2．
分析：（1）△ACE可看作由△ABD绕点A逆时针旋转90°得到的，可由已知找全等的条件．
（2）由（1）可推出BD=CE，∠DCE=90°在Rt△CDE中，CD=4-x，CE=x，可表示△CDE的面积，用一元二次方程，二次函数解答本题．
点评：本题结合等腰直角三角形中的旋转观察全等三角形，考查了全等三角形的判定与性质的运用，通过计算面积又把问题与一元二次方程、二次函数进行综合应用．