题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,为等边三角形,点坐标为,点轴上位于点上方的一个动点,以为边向的右侧作等边,连接,并延长轴于点.

(1)求证:

(2)当点在运动时,是否平分?请说明理由;

(3)当点在运动时,在轴上是否存在点,使得为等腰三角形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)见解析(2平分,理由见解析(3)存在,Q03),(01).

【解析】

1)根据等边三角形性质得出OPAPBPPC,∠APO=∠CPB60°,求出∠OPB=∠APC,证出△PBO≌△PCA即可;

2)由(1)知∠POB=∠PAC60゜,得到∠PAC=∠OAP60゜,即可得到平分;

(3)①当AQAE2时,△AEQ为等腰三角形,点Qy轴的正半轴上,求得OQAEAO3,②当AQAE2时,△AEQ为等腰三角形,点Qy轴的负半轴上,求得OQAQAO1,③当EQAE2时,△AEQ为等腰三角形,x轴是AQ的垂直平分线,求得OQAO1,即可得到结论.

1)证明:∵△BPC和△AOP是等边三角形,

OPAPBPPC,∠APO=∠CPB60°,

∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB

即∠OPB=∠APC

在△PBO和△PCA中,

∴△PBO≌△PCA SAS

OBAC

2平分,理由如下:

由(1)知∠POB=∠PAC60゜,

∴∠PAC=∠OAP60゜,

平分;

3)解:存在,

AE2AO2

∴①当AQAE2时,△AEQ为等腰三角形,点Qy轴的正半轴上,

OQAEAO3

Q03),

②当AQAE2时,△AEQ为等腰三角形,点Qy轴的负半轴上,

OQAQAO1

Q01),

③当EQAE2时,△AEQ为等腰三角形,x轴是AQ的垂直平分线,

OQAO1

Q01).

综上所述:在y轴上存在点Q,使得△AEQ为等腰三角形,Q03),(01).

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