Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中B（6，0），与y轴交于点C（0，8），点P是x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合）．

（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，点E关于直线PC的对称点为E′，若点E′落在y轴上（不与点C重合），请判断以P，C，E，E′为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点C（0，8），B（6，0）代入在抛物线y=﹣ x2+bx+c得 ，解得 ，

所以抛物线的表达式为y=﹣ x2+ x+8

（2）

解：以P，C，E，E′为顶点的四边形为菱形．理由如下：

∵E点和E′点关于直线PC对称，

∴∠E′CP=∠ECP，E′C=CE，E′P=EP，

又∵PD⊥x轴，

∴PE∥E′C，

∴∠EPC=∠E′CP，

∴∠EPC=∠ECP，

∴EP=EC，

∴EC=EP=PE′=E′C，

∴四边形EPE′C为菱形

（3）

解：设直线BC的解析式为y=kx+m，

把B（6，0），C（0，8）代入得 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+8；

设P（x，﹣ x2+ x+8），则E（x，﹣ x+8），

∴PE=﹣ x2+ x+8﹣（﹣ x+8）=﹣ x2+4x，

过点E作EF⊥y轴于点F，如图，

在Rt△OBC中，BC= =10，

∵EF∥OB，

∴△CFE∽△COB，

∴ = ，即 = ，

∴CE= x，

∵EC=EP，

∴﹣ x2+4x= x，

整理得2x2﹣7x=0，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴点P的坐标为（ ， ）．

【解析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；（2）利用对称的性质得∠E′CP=∠ECP，E′C=CE，E′P=EP，由PE∥E′C得∠EPC=∠E′CP，则∠EPC=∠ECP，于是可判断EP=EC，所以EC=EP=PE′=E′C，则根据菱形的判定方法得到四边形EPE′C为菱形；（3）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣ x+8，根据二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，﹣ x2+ x+8），则E（x，﹣ x+8），则可计算出PE=﹣ x2+ x+8﹣（﹣ x+8）=﹣ x2+4x，过点E作EF⊥y轴于点F，如图，证明△CFE∽△COB，利用相似比可计算出CE= x，则可利用EC=EP得到方程﹣ x2+4x= x，然后解方程求出x即可得到P点坐标．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．