Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，给出下列结论：①a：b：c＝﹣1：2：3；②对于任意实数m，一定有am2+bm+a≤0；③元二次方程cx2+bx+a＝0的两根为﹣1和，其中正确的结论是（　　）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

本题考查一元二次函数的图像性质.对于结论①，根据函数经过点A、B，将点的坐标代入函数，得出b＝﹣2a，c＝﹣3a，故可得出a、b、c之间的比例关系；对于结论②，先将函数解析式化为顶点式，求出顶点坐标，再将抛物线向下平移﹣4a个单位，则抛物线顶点为（1，0），最后求出平移后的解析式，继而判断其取值情况；对于结论③，方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，故可判断其正误.

解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），

∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∴a：b：c＝﹣1：2：3，故①正确；

∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a[（x﹣1）2﹣4]＝a（x﹣1）2﹣4a，

∴顶点坐标为（1，﹣4a），

∵抛物线开口向下，c＝﹣3a，

∴抛物线向下平移﹣4a个单位，则抛物线顶点为（1，0），

∴平移后的解析式为：y′＝ax2+bx+c+4a＝ax2+bx﹣3a+4a＝ax2+bx+a≤0，故②正确；

∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，

整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以③正确．

故选：A．