题目内容
【题目】如图1，
是
的内角，
，
（1）
平分
，交
于点
，过点
作
，过点作
，判断四边形
的形状：________；
（2）旋转到
，如图2，边
交
于点
，连接
，AE=AF．过点作
，过点作
．问：是否平分．若是请证明，若不是请说明理由．
（3）四边形
在（2）的条件下，若恰好
，如图3．连接
并延长，交
的延长线于点
．求证：
．
【答案】（1）菱形；（2）
平分
；理由见解析；（3）证明见解析
【解析】
（1）根据平行四边形的定义可得四边形ABFG为平行四边形，然后证出△FAB为等边三角形可得BF=BA，从而得出结论；
（2）过点
作
于N，作
于M，先证出
是等边三角形，然后利用SAS证出
，从而得出
，然后根据角平分线的判定即可证出结论；
（3）先证出平行四边形
是菱形，从而得出
，然后设
、
交于点
，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可得出
，然后结合平行四边形的性质和等角对等边即可证出结论．
解：（1）∵
，
∴四边形ABFG为平行四边形
∵
中，
∴∠ABC=180°－∠DAB=120°
∵平分，
∴∠ABF=
=60°
∴∠AFB=180°－∠ABF－∠FAB=60°
∴△FAB为等边三角形
∴BF=BA
∴四边形ABFG为菱形
故答案为：菱形；
（2）答：平分
理由：过点作于N，作于M
∴
∵由题意得：
， AE=AF
∴是等边三角形
∴
∴
∵
即：
∵在中，，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
又∵，作
∴平分
（3）∵
，
∴四边形是平行四边形
∵由（2）知
∴平行四边形是菱形
∴
∵
∴
∵
∴
，
∴
，
设、交于点
在
中，
∵，
∴四边形
为平行四边形
∴
∵，
∵四边形
为平行四边形
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
又∵
∴
∴
∵，
∴
，
∵
∴
∴
∴
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