题目内容

【题目】.如图,矩形ABCD中,OAC中点,过点O的直线分别与ABCD交于点EF,连结BFAC于点M,连结DEBO.若∠COB=60°FO=FC,则下列结论:①FB垂直平分OC②△EOB≌△CMB③DE=EF④SAOESBCM=23.其中正确结论的个数是( )

A. 4B. 3C. 2D. 1

【答案】C

【解析】试题分析:利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论;△OMB≌△OEB△EOB≌△CMB

先证△BEF是等边三角形得出BF=EF,再证DEBF得出DE=BF,所以得DE=EF可知△BCM≌△BEO,则面积相等,△AOE△BEO属于等高的两个三角形,其面积比就等于两底的比,即SAOESBOE=AEBE,由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE,得出结论SAOESBOE=AEBE=12

①∵矩形ABCD中,OAC中点, ∴OB=OC∵∠COB=60°∴△OBC是等边三角形, ∴OB=BC

∵FO=FC∴FB垂直平分OC, 故正确;

②∵FB垂直平分OC∴△CMB≌△OMB∵OA=OC∠FOC=∠EOA∠DCO=∠BAO∴△FOC≌△EOA

∴FO=EO, 易得OB⊥EF∴△OMB≌△OEB∴△EOB≌△CMB, 故正确;

△OMB≌△OEB≌△CMB∠1=∠2=∠3=30°BF=BE∴△BEF是等边三角形, ∴BF=EF

∵DF∥BEDF=BE四边形DEBF是平行四边形, ∴DE=BF∴DE=EF, 故正确;

在直角△BOE∵∠3=30°∴BE=2OE∵∠OAE=∠AOE=30°∴AE=OE∴BE=2AE

∴SAOESBCM=SAOESBOE=12, 故错误;

所以其中正确结论的个数为3

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