Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ）

①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=.

A.4个B.3个C.2个D.1个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠PCD=30°，于是得到∠CPD=∠CDP=75°，证得∠EDP=∠PBD=15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到故②错误；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，PB=CD，等量代换得到PD2=PHPB，故③正确；过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，求得∠PCD=30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PBsin60°=4×，PM=PCsin30°=2，由平行线的性质得到∠EDP=∠DPM，等量代换得到∠DBE=∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=，故④正确．

∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴ ，
∴PD2=PHCD，

∵PB=CD，
∴PD2=PHPB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PBsin60°=4× ，PM=PCsin30°=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM= ，故④正确；
故选：B．