Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4．
（1）作AC边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）：
（2）连接CE，求△BEC的周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，DE为所作；

（2）解：∵，∠C=90°，∠A=30°，AB=4．

∴BC= AB=2，

∵DE垂直平分AC，

∴EC=EA，

∴△BEC的周长=BE+EC+BC

=BE+EA+BC

=AB+BC

=4+2

=6．

【解析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到DE；（2）先利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=2，再根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA，然后利用等线段代换得到△BEC的周长=AB+BC=6．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．