题目内容

【题目】在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm,点P从点A出发,沿折线ABCD方向以3cm/s的速度匀速运动;点Q从点D出发,沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动.已知两点同时出发,当一个点到达终点时,另一点也停止运动,设运动时间为t(s).
(1)求CD的长;
(2)当四边形PBQD为平行四边形时,求四边形PBQD的周长;
(3)在点P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻,使得△BPQ的面积为20cm2?若存在,请求出所有满足条件的t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:如图1,

过A作AM⊥DC于M,

∵在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,

∴AM∥BC,

∴四边形AMCB是矩形,

∵AB=AD=10cm,BC=8cm,

∴AM=BC=8cm,CM=AB=10cm,

在Rt△AMD中,由勾股定理得:DM=6cm,

CD=DM+CM=10cm+6cm=16cm


(2)解:如图2,

当四边形PBQD是平行四边形时,PB=DQ,

即10﹣3t=2t,

解得t=2,

此时DQ=4,CQ=12,BQ= =

所以C□PBQD=2(BQ+DQ)=

即四边形PBQD的周长是(8+8 )cm


(3)解:当P在AB上时,如图3,

SBPQ= BPBC=4(10﹣3t)=20,

解得

当P在BC上时,如图4,即

SBPQ= BPCQ= (3t﹣10)(16﹣2t)=20,、

此方程没有实数解;

当P在CD上时:

若点P在点Q的右侧,如图5,即

SBPQ= PQBC=4(34﹣5t)=20,

解得 ,不合题意,应舍去;

若P在Q的左侧,如图6,即

SBPQ= PQBC=4(5t﹣34)=20,

解得

综上所述,当 秒或 秒时,△BPQ的面积为20cm2


【解析】(1)过A作AM⊥DC于M,得出平行四边形AMCB,求出AM,根据勾股定理求出DM即可;(2)根据平行四边形的对边相等得出方程,求出即可;(3)分为三种情况,根据题意画出符合条件的所有图形,根据三角形的面积得出方程,求出符合范围的数即可.

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