Question

【题目】在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为E、F，如图①．

（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．

（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．

Answer 1

【答案】（1）图①中，BE=DF+EF；图②中，BE=DF-EF；图③中，BE=EF-DF；（2）见解析

【解析】

（1）根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，再证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，AF=BE，然后结合图形求解即可；

（2）根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，AF=BE，然后结合图形求AF=AE+EF，即BE=DF+EF；

解：

（1）在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠AEB=∠DFA=90°，

∠ABE+∠BAE=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

∴△ABE≌△DAF(AAS)，

∴AE=DF，AF=BE，

如图①，∵AF=AE+EF，

∴BE=DF+EF，

如图②，∵AE=AF+EF，

∴BE = DF -EF，

如图③，∵EF=AE+AF，

∴BE = EF -DF

（2）证明：如图题①，

∵ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠AEB=∠AFD=90°，∠ABE+∠BAE=90°．

∵∠DAF+∠BAE=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

∴Rt△ABE≌Rt△DAF，

∴BE=AF，AE=DF，

而AF=AE+EF，

∴BE=DF+EF；