Question

如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan∠CBD的值等于（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  4

  5

• C、

  3

  5

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：过B作⊙O的直径BM，连接AM；由圆周角定理可得：①∠C=∠AMB，②∠MAB=∠CDB=90°；由上述两个条件可知：∠CBD和∠MBA同为等角的余角，所以这两角相等，求出∠MBA的正切值即可；
过A作AB的垂线，设垂足为E，由垂径定理易求得BE的长，即可根据勾股定理求得OE的长，已知∠MBA的对边和邻边，即可求得其正切值，由此得解．

解答：解：过B作⊙O的直径BM，连接AM；
则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C；
∴∠MBA=∠CBD；
过O作OE⊥AB于E；
Rt△OEB中，BE=

1

2

AB=4，OB=5；
由勾股定理，得：OE=3；
∴tan∠MBA=

OE

BE

=

3

4

；
因此tan∠CBD=tan∠MBA=

3

4

，故选D．

点评：此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理的综合应用能力；能够将已知和所求的条件构建到同一个直角三角形中，是解答此题的关键．