题目内容

【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中杨辉三角就是一例.下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现,当取正整数时可以单独列成表中的形式:

例如,在三角形中第二行的三个数121,恰好对应展开式中的系数,

(1)根据表中规律,写出的展开式;

(2)多项式的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数;

(3)请你猜想多项式取正整数)的展开式的各项系数之和(结果用含字母的代数式表示);

(4)利用表中规律计算:(不用表中规律计算不给分).

【答案】1;(2项式,第三项的系数为:;(3;(41.

【解析】

(1)可以根据题意写出答案,

(2)分别用去探究它们之间的关系,找出规律即可,

(3)分别用先求出它们的系数和,找出规律即可,

(4)通过观察可把正负号转化为的偶次方和奇次方,然后把式子转化为题中所给的形式即可得出答案.

解:根据题意可得:

1)观察表中信息可写出:

2)当时,多项式的展开式是一次二项式,此时第三项的系数为

时,多项式的展开式是二次三项式,此时第三项的系数为

时,多项式的展开式是三次四项式,此时第三项的系数为

多项式的展开式是一个项式,

第三项的系数为:

3)当时,多项式的各项系数之和为:

时,多项式的各项系数之和为:

时,多项式的各项系数之和为:

多项式展开式的各项系数之和为

4

=

=

=1.

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