题目内容
【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现,当
取正整数时可以单独列成表中的形式:
例如,在三角形中第二行的三个数1,2,1,恰好对应展开式中的系数,
(1)根据表中规律,写出的展开式;
(2)多项式的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数;
(3)请你猜想多项式取正整数)的展开式的各项系数之和(结果用含字母
的代数式表示);
(4)利用表中规律计算:(不用表中规律计算不给分).
【答案】(1);(2)
次
项式,第三项的系数为:
;(3)
;(4)1.
【解析】
(1)可以根据题意写出答案,
(2)分别用、
、
去探究它们之间的关系,找出规律即可,
(3)分别用、
、
先求出它们的系数和,找出规律即可,
(4)通过观察可把正负号转化为的偶次方和奇次方,然后把式子转化为题中所给的形式即可得出答案.
解:根据题意可得:
(1)观察表中信息可写出:,
(2)当时,多项式
的展开式是一次二项式,此时第三项的系数为
,
当时,多项式
的展开式是二次三项式,此时第三项的系数为
,
当时,多项式
的展开式是三次四项式,此时第三项的系数为
,
多项式
的展开式是一个
次
项式,
第三项的系数为:;
(3)当时,多项式
的各项系数之和为:
,
当时,多项式
的各项系数之和为:
,
当时,多项式
的各项系数之和为:
,
多项式展开式的各项系数之和为
:
(4)
=
=
=1.

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