题目内容
【题目】如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G．
（1）若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形；
（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；
（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．
【答案】
（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠MDF=90°，
∵M为边AD中点，
∴MA=MD
在△MAE和△MDF中，
∴△MAE≌△MDF（ASA），
∴EM=FM，
又∵MG⊥EM，
∴EG=FG，
∴△EFG是等腰三角形；
（2）
解：如图1，
∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a
∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4，
∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，
∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20，
∵CM2=EC2﹣EM2，
∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2，
∴CM= 
．
∵AB∥CD，
∴∠AEM=∠MFD，
又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AME=∠MCD，
∵∠MAE=∠CDM=90°，
∴△MAE∽△CDM，
∴ 
= 
，即 
= 
，
解得a=1或3，
代入CM= ．
得CM=3 
或 
．
（3）
解：①当点M在AD上时，如图2，作MN⊥BC，交BC于点N，
∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a
∴EM= 
= 
，MD=AD﹣AM=4﹣a，
∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，
∴△MAE∽△MDF
∴ 
= 
，
∴ 
= 
，
∴FM= 
，
∴EF=EM+FM= + = 
，
∵AD∥BC，
∴∠MGN=∠DMG，
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，
∴∠AME=∠DMG，
∴∠MGN=∠AEM，
∵∠MNG=∠MAE=90°，
∴△MNG∽△MAE
∴ 
= 
，
∴ 
= 
，
∴MG= ，
∴S= 
EFMG= × × = 
+6，
即S= +6，
当a= 
时，S有最小整数值，S=1+6=7．
②当点M在AD的延长线上时，如图3，作MN⊥BC，交BC延长线于点N，
∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a
∴EM= = ，MD=a﹣4，
∵DC∥AB，
∴△MAE∽△MDF
∴ = ，
∴ 
= ，
∴FM= 
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∴EF=EM﹣FM= ﹣ = ，
∵∠AME+∠EMN=90°，∠NMG+∠EMN=90°，
∴∠AME=∠NMG，
∵∠MNG=∠MAE=90°，
∴△MNG∽△MAE
∴ = ，
∴ = ，
∴MG= ，
∴S= EFMG= × × = +6，
即S= +6，
当a＞4时，S没有整数值．
综上所述当a= 时，S有最小整数值，S=1+6=7．
【解析】（1）利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形；（2）利用勾股定理EM2=AE2+AM2 ， EC2=BE2+BC2 ， 得出CM2=EC2﹣EM2 ， 利用线段关系求出CM．再△MAE∽△CDM，求出a的值，再求出CM．（3）①当点M在AD上时，②：①当点M在AD的延长线上时，作MN⊥BC，交BC于点N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的性质的相关知识点，需要掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题．
