题目内容

在平面直角坐标系中,放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB,已知OA=2,∠AOB=30度.D、E两点同时从原点O出发,D点以每秒
3
个单位长度的速度沿x轴正方向运动,E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动,设D、E两点的运动时间为t秒.
(1)点A的坐标为______,点B的坐标为______;
(2)在点D、E的运动过程中,直线DE与直线OA垂直吗?请说明理由;
(3)当时间t在什么范围时,直线DE与线段OA有公共点?
(4)将直角三角形纸片AOB在直线DE下方的部分沿DE向上折叠,设折叠后重叠部分面积为S,请写出S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
(1)由题意可知:OA=2,∠AOB=30°,则根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半,则AB=1,根据勾股定理可以求得OB=
3
;则点A的坐标为(1,
3
),点B的坐标为(0,
3
);

(2)垂直.
理由:连接DE,直角三角形ODE中,tan∠OED=
OD
OE
=
3

∴∠OED=60°.
∵∠BOA=30°,
∴OA⊥ED.

(3)因为DE总是垂直于OA运动,因此可以看做直线DE沿OA方向进行运动.因此两者有公共点的取值范围就是O?A之间.
当DE过O点时,t=0.
当DE过A点时,直角三角形OAD中,OA=2,∠ODA=30°,因此OD=4,t=
4
3
3

因此t的取值范围是0≤t≤
4
3
3


(4)当0≤t≤
2
3
3
时,S=
3
8
t2;Smax=
3
6

2
3
3
<t≤
3
时,S=
3
2
-
3
8
t2-
3
2
3
-t)2=-
5
3
8
(t-
4
3
5
2+
3
5
,Smax=
3
5

3
<t≤
4
3
3
时,S=
3
2
(2-
3
2
t)2,S无最大值;
综上所述S的最大值为
3
5

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