Question

【题目】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论： ①∠EBG=45°； ②△DEF∽△ABG；
③S△ABG=S△FGH； ④AG+DF=FG．
其中正确的是 ． （填写正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：∵根据折叠得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE， 又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴∠EBG= ，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=6，BC=AD=10，∠A=∠C=∠D=90°，
∴根据折叠得∠BFE=∠C=90°，
∴∠ABG+∠BGA=90°，∠EFD+∠BFA=90°，
∵∠BGA＞∠BFA，
∴∠BAG≠∠EFD，
∵∠GHB=∠A=90°，∠EFB=∠C=90°，
∴∠GHB=∠EFB，
∴GH∥EF，
∴∠EFD=∠HGF，
根据已知不能推出∠AGB=∠HGF，
∴∠AGB≠∠EFD，
即△DEF和△ABG不全等，∴②错误；
∵根据折叠得：AB=BH=6，BC=BF=10，
∴由勾股定理得：AF= =8，
∴DF=10﹣8=2，HF=10﹣6=4，
设AG=HG=x，
在Rt△FGH中，由勾股定理得：GH2+HF2=GF2 ，
即x2+42=（8﹣x）2 ，
解得：x=3，
即AG=HG=3，
∴S△ABG= = =9，S△FHG= = =6，∴③错误；
∵AG+DF=3+2=5，GF=10﹣3﹣2=5，∴④正确；
故答案为：①④．
根据矩形的性质得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10，根据折叠得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，AG=GH，BC=BF=10，AB=BH=6，根据勾股定理求出AG=GH=3，再逐个判断即可．