题目内容
【题目】综合与探究
如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；
（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．
【答案】（1）y＝
x2﹣
x﹣3；（2）点N的坐标是（
+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；（3）S＝﹣m2+
m+．
【解析】
（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）由抛物线解析式求得点C的坐标，即OC＝3，所以由三角形的面积公式得到点N到x轴的距离为3，据此列出方程并解答；
（3）如图2，由已知得，QB＝m，PQ＝2，利用待定系数法确定直线BC的表达式为y＝x﹣3．根据二次函数图象上点的坐标特征和坐标与图形的性质求得D（2，﹣3），所以直线CD∥x轴．由此求得EM的长度；过点F作FH⊥PM于点M，构造相似三角形：△MHF∽△MPQ和△CMF∽△BQF，根据相似三角形的对应边成比例推知
＝
．设MF＝k（2﹣m），QF＝km，由三角形的面积公式和图形得到：S＝S△PQM﹣S△EMF＝3﹣
（﹣m+）（2﹣m）＝﹣m2+m+．
解：（1）如图1，把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得
，
解得
，
所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）将x＝0代入y＝x2﹣x﹣3，得y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∴OC＝3．
设N（x，y），
∵S△NAB＝S△CAB，
∴|y|＝OC＝3，
∴y＝±3．
当y＝3时，x2﹣x﹣3＝3，
解得x＝
+1．
当y＝﹣3时，x2﹣x﹣3＝﹣3，
解得x1＝2，x2＝0（舍去）．
综上所述，点N的坐标是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；
（3）如图2，由已知得，QB＝m，PQ＝2，
设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）．
∵直线y＝kx+b经过点B（4，0），C（0，﹣3），
∴
，
解得
，
∴直线BC的表达式为y＝x﹣3．
当0＜m≤2时，由已知得PB＝2+m．
∵OP＝2﹣m，
∴E（2﹣m，﹣m﹣）．
由OB＝4得OP＝2，
把x＝2代入y＝x2﹣x﹣3中，得y＝﹣3，
∴D（2，﹣3），
∴直线CD∥x轴．
∵EP＝m+，MP＝3，
∴EM＝MP﹣EP＝3﹣m﹣＝﹣m+．
过点F作FH⊥PM于点M，则∠MHF＝∠MPQ＝90°．
∵∠HMF＝∠PMQ，
∴△MHF∽△MPQ，
∴
＝
．
∵∠FCM＝∠FBQ，∠FMC＝∠FQB，
∴△CMF∽△BQF，
∴＝
．
∵CD＝2，
∴CM＝2﹣m，
∴＝．
设MF＝k（2﹣m），QF＝km，
∴MQ＝2k，
∴＝．
∴＝．
∵PQ＝2，
∴HF＝2﹣m．
∴S△EMF＝EMHF＝（﹣
m+）（2﹣m）．
∵S△PQM＝PQPM＝×3×2＝3，
∴S＝S△PQM﹣S△EMF＝3﹣（﹣m+）（2﹣m）＝﹣ m2+ m+ ．
