Question

【题目】已知关于x的一元二次方程2x2+（a+4）x+a=0．

（1）求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）抛物线与x轴的一个交点的横坐标为，其中a≠0，将抛物线C1向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线C2．求抛物线C2的解析式；

（3）点A（m，n）和B（n，m）都在（2）中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式2m3﹣2mn+2n3的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y=2x2﹣3．（3）．

【解析】

试题分析：（1）先求出判别式的值，根据△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即可得出结论；

（2）将点（，0）代入抛物线C1解析式，得出a的值，从而确定C1解析式，根据平移的规律可得出抛物线C2的解析式；

（3）将点A（m，n）和B（n，m）代入抛物线C2的解析式，通过整理、化简可得出代数式2m3﹣2mn+2n3的值．

（1）证明：∵△=（a+4）2﹣4×2a=a2+16，

而a2≥0，

∴a2+16＞0，即△＞0．

∴无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵当时，y=0，

∴2×（）2+（a+4）×+a=0，

∴a2+3a=0，即a（a+3）=0，

∵a≠0，

∴a=﹣3．

∴抛物线C1的解析式为y=2x2+x﹣3=2（x+）2﹣，

∴抛物线C1的顶点为（﹣，﹣），

∴抛物线C2的顶点为（0，﹣3）．

∴抛物线C2的解析式为y=2x2﹣3．

（3）∵点A（m，n）和B（n，m）都在抛物线C2上，

∴n=2m2﹣3，m=2n2﹣3，

∴n﹣m=2（m2﹣n2），

∴n﹣m=2（m﹣n）（m+n），

∴（m﹣n）[2（m+n）+1]=0，

∵A、B两点不重合，即m≠n，

∴2（m+n）+1=0，

∴m+n=﹣，

∵2m2=n+3，2n2=m+3，

∴2m3﹣2mn+2n3=2m2m﹣2mn+2n2n=（n+3）m﹣2mn+（m+3）n=3（m+n）=．