题目内容

【题目】如图,正方形ABCO的边OAOC在坐标轴上,点B坐标为(6,6),将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEFED交线段AB于点GED的延长线交线段OA于点H,连结CHCG

(1)求证:CG平分∠DCB

(2)在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中,求线段HGOHBG之间的数量关系;

(3)连结BDDAAEEB,在旋转的过程中,四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形?若能,试求出直线DE的解析式;若不能,请说明理由.

【答案】1)见解析;(2HGOH+BG;(3)能成矩形,y

【解析】

(1)根据旋转和正方形的性质可得出CDCB,∠CDG=∠CBG=90,根据全等直角三角形的判定定理(HL)即可证出Rt△CDG≌Rt△CBG即∠DCG=∠BCG由此即可得出CG平分∠DCB

(2)由(1)的Rt△CDG≌Rt△CBG可得出BGDG根据全等直角三角形的判定定理(HL)即可证出Rt△CHO≌Rt△CHDOHHD再根据线段间的关系即可得出HGHD+DGOH+BG

(3)根据(2)的结论即可找出当G点为AB中点时四边形AEBD为矩形再根据正方形的性质以及点B的坐标可得出点G的坐标H点的坐标为(x,0),由此可得出HOx根据勾股定理即可求出x的值即可得出点H的坐标结合点HG的坐标利用待定系数法即可求出直线DE的解析式

1)∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF,∴CDCB,∠CDG=∠CBG=90°.在Rt△CDGRt△CBG中,∵,∴Rt△CDG≌Rt△CBG(HL),∴∠DCG=∠BCGCG平分∠DCB

(2)由(1)证得:Rt△CDG≌Rt△CBG,∴BGDG.在Rt△CHORt△CHD中,∵,∴Rt△CHO≌Rt△CHD(HL),∴OHHD,∴HGHD+DGOH+BG

(3)假设四边形AEBD可为矩形

G点为AB中点时四边形AEBD为矩形如图所示

G点为AB中点,∴BGGAAB由(2)证得BGDGBGGADGABDEGEABDE∴四边形AEBD为矩形,∴AGEGBGDG

AGAB=3,∴G点的坐标为(6,3).

H点的坐标为(x,0),HOx,∴HDxDG=3.

Rt△HGAHGx+3,GA=3,HA=6﹣x由勾股定理得:(x+3)2=32+(6﹣x2解得x=2,∴H点的坐标为(2,0).

设直线DE的解析式为ykx+bk≠0),将点H(2,0)、G(6,3)代入ykx+b解得∴直线DE的解析式为y

故四边形AEBD能为矩形此时直线DE的解析式为y

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