题目内容
【题目】如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(6,6),将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEF,ED交线段AB于点G,ED的延长线交线段OA于点H,连结CH、CG.
(1)求证:CG平分∠DCB;
(2)在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中,求线段HG、OH、BG之间的数量关系;
(3)连结BD、DA、AE、EB,在旋转的过程中,四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形?若能,试求出直线DE的解析式;若不能,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2) HG=OH+BG;(3)能成矩形,y.
【解析】
(1)根据旋转和正方形的性质可得出CD=CB,∠CDG=∠CBG=90,根据全等直角三角形的判定定理(HL)即可证出Rt△CDG≌Rt△CBG,即∠DCG=∠BCG,由此即可得出CG平分∠DCB;
(2)由(1)的Rt△CDG≌Rt△CBG可得出BG=DG,根据全等直角三角形的判定定理(HL)即可证出Rt△CHO≌Rt△CHD,即OH=HD,再根据线段间的关系即可得出HG=HD+DG=OH+BG;
(3)根据(2)的结论即可找出当G点为AB中点时,四边形AEBD为矩形,再根据正方形的性质以及点B的坐标可得出点G的坐标,设H点的坐标为(x,0),由此可得出HO=x,根据勾股定理即可求出x的值,即可得出点H的坐标,结合点H、G的坐标利用待定系数法即可求出直线DE的解析式.
(1)∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF,∴CD=CB,∠CDG=∠CBG=90°.在Rt△CDG和Rt△CBG中,∵,∴Rt△CDG≌Rt△CBG(HL),∴∠DCG=∠BCG,即CG平分∠DCB.
(2)由(1)证得:Rt△CDG≌Rt△CBG,∴BG=DG.在Rt△CHO和Rt△CHD中,∵,∴Rt△CHO≌Rt△CHD(HL),∴OH=HD,∴HG=HD+DG=OH+BG.
(3)假设四边形AEBD可为矩形.
当G点为AB中点时,四边形AEBD为矩形,如图所示.
∵G点为AB中点,∴BG=GAAB,由(2)证得:BG=DG,则BG=GA=DG
AB
DE=GE,又AB=DE,∴四边形AEBD为矩形,∴AG=EG=BG=DG.
∵AGAB=3,∴G点的坐标为(6,3).
设H点的坐标为(x,0),则HO=x,∴HD=x,DG=3.
在Rt△HGA中,HG=x+3,GA=3,HA=6﹣x,由勾股定理得:(x+3)2=32+(6﹣x)2,解得:x=2,∴H点的坐标为(2,0).
设直线DE的解析式为:y=kx+b(k≠0),将点H(2,0)、G(6,3)代入y=kx+b中,得:,解得:
,∴直线DE的解析式为:y
.
故四边形AEBD能为矩形,此时直线DE的解析式为:y.
