题目内容

【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0
②4a+2b+c>0
③4ac﹣b2<8a
<a<
⑤b>c.
其中含所有正确结论的选项是(  )

A.①③
B.①③④
C.②④⑤
D.①③④⑤

【答案】D
【解析】解:①∵函数开口方向向上,
∴a>0;
∵对称轴在原点左侧
∴ab异号,
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,
∴c<0,
∴abc>0,
故①正确;
②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=﹣1,
∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),
∴当x=2时,y<0,
∴4a+2b+c<0,
故②错误;
③∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),
∴当x=﹣1时,y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0,
∴a﹣b+c=0,即a=b﹣c,c=b﹣a,
∵对称轴为直线x=1
=1,即b=﹣2a,
∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a,
∴4ac﹣b2=4a(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2<0
∵8a>0
∴4ac﹣b2<8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,
∴﹣2<c<﹣1
∴﹣2<﹣3a<﹣1,
>a>
故④正确
⑤∵a>0,
∴b﹣c>0,即b>c;
故⑤正确;
故选:D.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点,需要掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.

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