题目内容
【题目】（本题满分10分） 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“兄弟二次函数”．
（1）请写出两个为“兄弟二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“兄弟二次函数”，求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最大值．
【答案】（1）答案不唯一，顶点坐标相同，a符号相同3分；（2）y2＝5x2－10x＋5，y2的最大值为20．
【解析】试题分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．
（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．
解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，
当a=2，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．
∵2＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．
∵3＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），
∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．
整理得：m2﹣2m+1=0．
解得：m1=m2=1．
∴y1=2x2﹣4x+3
=2（x﹣1）2+1．
∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5
=（a+2）x2+（b﹣4）x+8
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1
=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞﹣2．
∴
．
解得：
．
∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．
∴y2=5x2﹣10x+5
=5（x﹣1）2．
∴函数y2的图象的对称轴为x=1．
∵5＞0，
∴函数y2的图象开口向上．
①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而减小，
∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×（0﹣1）2=5，
②当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而增大，
∴当x=3时，y2取最大值，
最大值为5（3﹣1）2=20．
综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．
