题目内容

(2012•北京二模)已知:如图,在直角坐标系xOy中,点A(8,0)、B(0,6),点C在x轴的负半轴上,AB=AC.动点M在x轴上从点C向点A移动,动点N在线段AB上从点A向点B移动,点M、N同时出发,且移动的速度都为每秒1个单位,移动时间为t秒(0<t<10).
(1)设△AMN的面积为y,求y关于t的函数关系解析式;
(2)求四边形MNBC的面积最小是多少?
(3)求时间t为何值时,△AMN是等腰三角形?
分析:(1)过N作NF⊥AC于F,求出OA=8,OB=6,AB=10,AC=10,根据sin∠BAC=
OB
AB
=
NF
AN
求出NF=
3
5
t,根据三角形面积公式求出即可;
(2)根据y=-
3
10
t2+3t=-
3
10
(t-5)2+
15
2
,求出△AMN的面积的最大值,根据三角形ABC的面积即可求出答案;
(3)AN=t,CM=t,AM=10-t,分为三种情况:①当AM=AN时,10-t=t,②当AM=MN时,作ME⊥AB于E,求出AE=
4
5
(10-t),且AE=
1
2
AN,得出方程
4
5
(10-t)=
1
2
t,求出方程的解即可;③当AN=MN时,过N作NF⊥AC于F,cos∠BAC=
AF
AN
=
AO
AB
求出AF=
4
5
t,且AM=2AF,得出方程10-t=
8
5
t,求出方程的解即可.
解答:解:(1)如图1,过N作NF⊥AC于F,
∵A(8,0)、B(0,6),
∴OA=8,OB=6,
由勾股定理得:AB=10,
∵AB=AC,
∴AC=10,
sin∠BAC=
OB
AB
=
NF
AN

6
10
=
NF
t

∴NF=
3
5
t,
∴y=
1
2
×AM×NF=
1
2
•(10-t)•
3
5
t,
y=-
3
10
t2+3t;

(2)∵y=-
3
10
t2+3t=-
3
10
(t-5)2+
15
2

∴△AMN的面积的最大值是
15
2
平方单位,
∴四边形MNBC的面积的最小值是S△ABC-
15
2
=
1
2
×10×6-
15
2
=
45
2
平方单位;

(3)根据已知得:AN=t,CM=t,AM=10-t,
分为三种情况:①当AM=AN时,10-t=t,
t=5;
②当AM=MN时,如图2,
作ME⊥AB于E,
cos∠BAC=
AE
AM
=
AO
AB

AE
10-t
=
8
10

AE=
4
5
(10-t),且AE=
1
2
AN,
4
5
(10-t)=
1
2
t,
t=
80
13


③当AN=MN时,如图3,
过N作NF⊥AC于F,
cos∠BAC=
AF
AN
=
AO
AB

AF
t
=
8
10

∴AF=
4
5
t,且AM=2AF,
∴10-t=
8
5
t,
t=
50
13

即时间t为5秒或
80
13
秒或
50
13
秒时,△AMN是等腰三角形.
点评:本题考查了解直角三角形,三角形面积,二次函数的最值,等腰三角形的性质的应用,主要考查学生综合运用性质尽计算的能力,用了分类讨论思想.
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