题目内容
【题目】某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历
（1）用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为 ， ．
（2）用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形．
（3）用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出来，不存在说明理由．
（4）第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断．
【答案】（1）3a，9a；（2）见解析；（3）不存在，理由见解析；（4）不能，证明见解析
【解析】
（1）根据日历的特点可列出关于a的方程，求解即可；
（2）根据上下左右的数量关系，画图即可；
（3）举例拆分即可．
（4）根据数字的奇偶性规律验证．
（1）长方形中中间数为a，上下两数分别为（a﹣7）；（a+7）
∴3个数的和为a+（a﹣7）+（a+7）＝3a
正方形中中间数为a，那么左右两数分别为（a﹣1）；（a+1）
根据以上规律左边三个数的和为3（a﹣1）；中间三个数的和为3a；右边三个数的和为3（a+1）
∴9个数的和为3（a﹣1）+3a+3（a+1）＝9a
故答案为：3a，9a．
（2）如图所示即可
（3）不存在，
根据图形的规律得，b=a+1,c=a+6,d=a+7，
∵a+b+c+d＝114，
∴a+a+1+a+6+a+7=114,
a=25,
∴d=a+25=32，
∴不存在这样的4个数使得a+b+c+d＝114.
（4）不能，
共翻动了
（次），
而要使一个铁皮翻面，需要奇数次，
所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下需要31 
奇数次，
∵496不是奇数，
∴第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，不能使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下.
