题目内容

【题目】问题提出

如图1,点A为线段BC外一动点,且,填空:当点A位于______时,线段AC的长取得最大值,且最大值为______用含的式子表示

问题探究

A为线段BC外一动点,且,如图2所示,分别以为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接,找出图中与BE相等的线段,请说明理由,并直接写出线段BE长的最大值.

问题解决:

如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为,点B的坐标为,点P为线段AB外一动点,且,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

如图4,在四边形ABCD中, ,若对角线于点D,请直接写出对角线AC的最大值.

【答案】 CB的延长线上;

【解析】分析:

1)由题意可知,当点ACB的延长线上时,线段AC的值最大,最大值为:AC=AB+BC=a+b

2)由已知条件易证△ABE≌△ADC,由此可得BE=DC,结合(1)中结论可知,当点DCB的延长线上时,BE最长=CD最长=BC+AB=9

3如下图5连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转得到PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形,则由已知易得AB=3AN=AP=结合1)可知,当点NBA的延长线上时,AM最大=BN最大=AB+AN=;如图6,当点NBA的延长线上时,过点PPEAN于点E,由△APN是等腰直角三角形,AP=2即可求得OEPE的长,从而可得此时点P的坐标;如下图7BC为边作等边三角形BCM,连接DM由已知条件易证△ABC≌△DBM,从而可得AC=DM,由此可得当DM的值最大时,AC的值就最大,由∠BDC=90°可知点D在以BC为直径的上运动由图可知当DBC上方,且DMBC时,DM的值最大,最大值为:等腰直角△BDC斜边BC上的高+等边△BMC的高.

详解:

(1)A为线段BC外一动点,且

∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为

故答案为:CB的延长线上,

理由:∵是等边三角形,

中,

②∵线段BE长的最大值线段CD的最大值,

∴由知,当线段CD的长取得最大值时,点DCB的延长线上,

∴最大值为

(3)①如图5,连接BM,将绕着点P顺时针旋转得到,连接AN,则是等腰直角三角形,

的坐标为,点B的坐标为

∴线段AM长的最大值线段BN长的最大值,

∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,

最大值

∴最大值为

如图6,过P轴于E

是等腰直角三角形,

如下图7BC为边作等边三角形△BCM连接DM

∴欲求AC的最大值,只要求出DM的最大值即可,

定值,

∴点D在以BC为直径的上运动,

由图象可知,当点DBC上方,DM⊥BC时,DM的值最大,最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高,

BC=

DM最大=

AC最大=

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