题目内容
【题目】问题提出
如图1,点A为线段BC外一动点,且
,填空:当点A位于______时,线段AC的长取得最大值,且最大值为______
用含
的式子表示
.
问题探究
点A为线段BC外一动点,且
,如图2所示,分别以
为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接
,找出图中与BE相等的线段,请说明理由,并直接写出线段BE长的最大值.
问题解决:
如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为
,点B的坐标为
,点P为线段AB外一动点,且
,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
如图4,在四边形ABCD中,
,若对角线
于点D,请直接写出对角线AC的最大值.
【答案】 CB的延长线上;
【解析】分析:
(1)由题意可知,当点A在CB的延长线上时,线段AC的值最大,最大值为:AC=AB+BC=a+b;
(2)由已知条件易证△ABE≌△ADC,由此可得BE=DC,结合(1)中结论可知,当点D在CB的延长线上时,BE最长=CD最长=BC+AB=9;
(3)①如下图5,连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形,则由已知易得AB=3,AN=
AP=
,结合(1)可知,当点N在BA的延长线上时,AM最大=BN最大=AB+AN=
;如图6,当点N在BA的延长线上时,过点P作PE⊥AN于点E,由△APN是等腰直角三角形,AP=2,即可求得OE和PE的长,从而可得此时点P的坐标;②如下图7,以BC为边作等边三角形△BCM,连接DM,由已知条件易证△ABC≌△DBM,从而可得AC=DM,由此可得当DM的值最大时,AC的值就最大,由∠BDC=90°可知点D在以BC为直径的
上运动,由图可知当D在BC上方,且DM⊥BC时,DM的值最大,最大值为:等腰直角△BDC斜边BC上的高+等边△BMC的高.
详解:
(1)∵点A为线段BC外一动点,且,
∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为,
故答案为:CB的延长线上, ;
,
理由:∵与
是等边三角形,
∴,
∴,
即,
在与
中,
,
∴≌
,
∴;
②∵线段BE长的最大值线段CD的最大值,
∴由知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,
∴最大值为;
(3)①如图5,连接BM,将绕着点P顺时针旋转
得到
,连接AN,则
是等腰直角三角形,
∴,
∵的坐标为
,点B的坐标为
,
∴,
∴,
∴线段AM长的最大值线段BN长的最大值,
∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,
最大值,
∵,
∴最大值为;
如图6,过P作轴于E,
∵是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴
②如下图7,以BC为边作等边三角形△BCM,连接DM,
∵,
∴
∵,
∴≌
,
∴,
∴欲求AC的最大值,只要求出DM的最大值即可,
∵定值,
,
∴点D在以BC为直径的上运动,
由图象可知,当点D在BC上方,DM⊥BC时,DM的值最大,最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高,
∵BC=,
∴DM最大=,
∴AC最大=.
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【题目】某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元
,请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把结果填写在表格中:
销售单价 | x |
销售量 | ______ |
销售玩具获得利润 | ______ |
在
问条件下,若商场获得了10000元销售利润,求该玩具销售单价x应定为多少元.
在
问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?