题目内容
【题目】在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：△ABC是⊙O的内接三角形．求作：△ABC中∠BAC的平分线．
小明的作法如下：
（1）作BC边的垂直平分线DE，交BC于点D，交弧BC于点E；
（2）连接AE，交BC边于点F；则线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线．根据小明设计的尺规作图过程，
①在图中补全图形（尺规作图，保留作图痕迹）；
②完成下面的证明．
证明：∵OB＝OC，DE是线段BC的垂直平分线
∴圆心O在直线DE上（ ）．
∵DE⊥BC，
∴
（ ）．
∴∠BAE＝∠CAE（ ），
∴线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线．
【答案】到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂径定理；圆周角定理
【解析】
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DE⊥BC，则利用垂径定理得到弧BE=弧CE，然后根据圆周角定理得到∠BAE=∠CAE．
（1）如图，
（2）证明：∵OB＝OC，DE是线段BC的垂直平分线
∴圆心O在直线DE上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
∵DE⊥BC，
∴
（垂径定理）．
∴∠BAE＝∠CAE（圆周角定理），
∴线段AF为所求△ABC中∠BAC的平分线．
故答案为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂径定理；圆周角定理．
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