题目内容

【题目】已知ABCCEF均为等腰直角三角形,∠ABC=∠CFE90°,连接AE,点GAE中点,连接BGGF

1)如图1,当CEFEF落在BCAC边上时,探究FGBG的关系;

2)如图2,当CEFF落在BC边上时,探究FGBG的关系.

【答案】(1) FG=BGFGBG;证明见详解;(2FG=BGFGBG;证明见详解;

【解析】

1)由∠AFE=ABE=90°,点GAE中点,则,则得到FG=BG,∠FGE=2FAG,∠BGE=2BAG,由∠FAG+BAG=45°,即可得到∠BGF=90°;

2)过点EEDAB,交AB延长线于点D,连接DGCG,根据题意,找出相应的条件证明△GFE≌△GBDSAS),得到FG=BG,与(1)证法一样,证明∠CGD=90°,通过等量代换即可得到∠FGB=90°.

解:(1FG=BGFGBG;如图1

∠ABC∠CFE90°

∴△ABE和△AFE是直角三角形,

∵点GAE的中点,

.,∠GAF=GFA,∠GAB=GBA

∴∠FGE=2FAG,∠BGE=2BAG

∵∠BAC=FAG+BAG=45°

∴∠BGF=FGE+BGE=2(∠FAG+BAG=90°,

FGBG

2

过点EEDAB,交AB延长线于点D,连接DGCG

△ABC△CEF均为等腰直角三角形,EDAB

∴∠FBD=BFE=EDB=90°,

∴四边形BFED是矩形,

BD=EF

在直角三角形ADE和直角三角形ACE中,GAE中点,

DG=GE=AG=CG=

∴∠GED=GDE

∴∠FEG=BDG

∴△GFE≌△GBDSAS),

GF=GBCF=BD

DG=AG=CG

∴△CGF≌△DGB,∠CAG=ACG,∠DAG=ADG

∴∠CGF=DGB

∵∠CAG+DAG=45°,

CGE+DGE=2(∠CAG+DAG=90°,

即∠CGD=90°,

∴∠CGD-CGF+DGB=FGB=90°,

FGBG.

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