Question

定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC²=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．

Answer 1

解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°。
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°。∴AD=BD，BC=BD。
∴△ABC∽△BDC。∴，即。∴AD²=AC•CD。
∴点D是线段AC的黄金分割点。
（2）由（1）AD²=AC•CD，即AD²=AC•（AC﹣AD），AD²=1﹣AD，AD²+AD﹣1=。
解得AD=（舍去负值）。
∴AD=。

解析试题分析：（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案。
（2）根据（1）列出方程即可求出AD的长度。