Question

如图，在四边形形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M．
（1）△EDM与△FBM相似吗？为什么？
（2）若DB=9，求BM的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,梯形

专题：

分析：（1）由E为AB中点，得到AB=2EB，又AB=2DC，等量代换得到DC=EB，又DC与EB平行，根据一对对边平行且相等的四边形为平行四边形可得DCBE为平行四边形，根据平行四边形的对边平行可得FB与DE平行，由两直线平行得两对内错角相等，从而根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形EDM与三角形FMB相似，根据相似得比例可得证；
（2）由F为BC的中点，得到BC=2FB，又由（1）得到的四边形BCDE为平行四边形，可得对边BC=ED，等量代换可得DE=2FB，由（1）得到的三角形EDM与三角形FMB相似，可得相似比为2：1，即得到DM：MB=2：1，设出DM=2k与MB=k，根据BD的长列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而得到BM的长．

解答：解：（1）△FMB∽△EMD；
理由：∵E是AB的中点，
∴AB=2EB，又AB=2CD，
∴DC=EB，又DC∥EB，
∴四边形DCBE为平行四边形，
∴FB∥DE，
∴∠BFM=∠DEM，∠FBM=∠EDM，
∴△FMB∽△EMD；

（2）由F为BC的中点，得到BC=2FB，
又四边形DCBE为平行四边形，得到DE=BC，
则DE=2FB，即FB：DE=1：2，
∴△FMB与△EMD的相似比为1：2，
即DM：MB=2：1，又BD=9，
设DM=2k，MB=k，
所以BD=BM+MD=k+2k=9，
解得k=3．
则BM=3．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及比例的性质，要证明比例问题常常把各边放入两三角形中，利用相似解决问题，证明相似的方法有：两对对应边相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似等，此外学生在做第二问时要注意借助已证的结论．