题目内容
【题目】如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC.
(1)延长BA到M,使AM=AD,连接CM,求∠ACM的度数.
(2)如图2,若CE⊥BD于E,则BD与EC存在怎样的数量关系?请说明理由.
(3)如图3,点P是射线BA上A点右边一动点,以CP为斜边作等腰直角△CPF,其中∠F=90°,点Q为∠FCP与∠CPF的角平分线的交点.当点P运动时,点Q是否一定在射线BD上?若在,请证明;若不在,请说明理由.
【答案】(1)22.5°;(2)BD=2CE,理由见解析;(3)点Q一定在射线BD上.
【解析】试题分析: (1)通过证明△BDA≌△MCA,得到∠DBA=∠MCA,再根据BD平分∠ABC得∠ABD=22.5°,得到∠ACM=22.5°;
(2)延长CE交BA的延长线于点G,通过判定△ABD≌△ACG,得出BD=CG=2CE即可;
(3)连接CQ,过点Q作QM⊥BP于M,作QN⊥BC于N,在等腰直角△CPF中,求得∠QCP=∠QPC=22.5°,进而得出△PQC中,∠PQC=135°;在四边形QNBM中,根据QM⊥BP,QN⊥BC,∠ABC=45°,得到∠MQN=135°,进而得到∠NQC=∠MQP,根据AAS判定△QPM≌△QCN,得出QM=QN,最后根据角平分线的性质定理的逆定理,得出点Q一定在射线BD上.
试题解析:
(1)∵∠BAC=90°,
∴∠CAM=90°,
∴∠BAC=∠CAM,
又∵AB=AC,AM=AD,
∴△BDA≌△MCA,
∴∠DBA=∠MCA,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=22.5°,
∴∠ACM =22.5°;
故答案为:22.5°.
(2)如图,延长CE交BA的延长线于点G,
∵BD平分∠ABC,CE⊥BD,
∴CE=GE,
在△ABD与△ACG中,
,
∴△ABD≌△ACG(AAS),
∴BD=CG=2CE;
(3)点Q一定在射线BD上,
理由:如图,连接CQ,过点Q作QM⊥BP于M,作QN⊥BC于N,
∵QF为∠PFC的角平分线,△CPF为等腰直角三角形,
∴QF为PC的垂直平分线,
∴PQ=QC,
∵Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点,
∴CQ平分∠FCP,
∵△CPF为等腰直角三角形,
∴∠FCP=∠FPC=45°,
∴∠QCP=∠QPC=22.5°,
∴△PQC中,∠PQC=135°,
∵在四边形QNBM中,QM⊥BP,QN⊥BC,∠ABC=45°,
∴∠MQN=135°,
∴∠MQN=∠PQC,
∴∠NQC=∠MQP,
又∵QC=QP,QM⊥BP,QN⊥BC,
∴△QPM≌△QCN(AAS),
∴QM=QN,
又∵QM⊥BP,QN⊥BC,
∴点Q一定在射线BD上.
点睛: 本题主要考查了三角形的综合应用,解题时需要运用三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质等知识.解决问题的关键是作辅助线,构造全等三角形,根据全等三角形的性质进行推导.解题时注意:到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.