题目内容

【题目】如图1,在△ABC中,∠BAC=90°AB=ACBD平分∠ABC

1延长BAM,使AM=AD,连接CM,求∠ACM的度数

2如图2CE⊥BDEBDEC存在怎样的数量关系?请说明理由.

3)如图3,点P是射线BAA点右边一动点,以CP为斜边作等腰直角△CPF,其中∠F=90°,点Q∠FCP∠CPF的角平分线的交点.当点P运动时,点Q是否一定在射线BD上?若在,请证明若不在请说明理由.

【答案】(1)22.5°;(2)BD=2CE,理由见解析;(3)点Q一定在射线BD上.

【解析】试题分析: (1)通过证明△BDA≌△MCA,得到∠DBA=∠MCA,再根据BD平分∠ABC得∠ABD=22.5°,得到∠ACM=22.5°;

(2)延长CEBA的延长线于点G,通过判定ABD≌△ACG,得出BD=CG=2CE即可;

(3)连接CQ,过点QQMBPM,作QNBCN,在等腰直角CPF中,求得∠QCP=QPC=22.5°,进而得出PQC中,∠PQC=135°;在四边形QNBM中,根据QMBP,QNBC,ABC=45°,得到∠MQN=135°,进而得到∠NQC=MQP,根据AAS判定QPM≌△QCN,得出QM=QN,最后根据角平分线的性质定理的逆定理,得出点Q一定在射线BD上.

试题解析:

1∵∠BAC90°

∴∠CAM=90°,

∴∠BAC∠CAM

又∵ABACAM=AD

∴△BDA≌△MCA,

∴∠DBA=∠MCA,

BD平分∠ABC,

∴∠ABD22.5°

∴∠ACM 22.5°

故答案为:22.5°

(2)如图,延长CE交BA的延长线于点G,

∵BD平分∠ABC,CE⊥BD,

∴CE=GE,

在△ABD与△ACG中,

∴△ABD≌△ACG(AAS),

∴BD=CG=2CE;

3Q一定在射线BD上,

理由:如图,连接CQ,过点QQMBPM,作QNBCN

QF为∠PFC的角平分线,CPF为等腰直角三角形,

QFPC的垂直平分线,

PQQC

Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点,

CQ平分∠FCP

∵△CPF为等腰直角三角形,

∴∠FCPFPC45°

∴∠QCPQPC22.5°

∴△PQC中,∠PQC135°

∵在四边形QNBM中,QMBPQNBCABC45°

∴∠MQN135°

∴∠MQNPQC

∴∠NQCMQP

又∵QCQPQMBPQNBC

∴△QPM≌△QCNAAS),

QMQN

又∵QMBPQNBC

∴点Q一定在射线BD上.

点睛: 本题主要考查了三角形的综合应用,解题时需要运用三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质等知识.解决问题的关键是作辅助线,构造全等三角形,根据全等三角形的性质进行推导.解题时注意:到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

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