题目内容

【题目】如图,ABC是⊙O的内接圆,且AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,BD平分∠ABCAC于点EDFBCBC延长线于点F

1)求证:DF是⊙O的切线.

2)若,求DE的长.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

1)连接OD,根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBF,由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ODB,等量代换得到∠DBF=∠ODB,推出∠ODF90°,根据切线的判定定理得到结论;

2)连接AD,根据圆周角定理得到∠ADE90°,根据角平分线的定义得到∠DBF=∠ABD,解直角三角形得到AD3,求得DE

解:(1)连接OD

BD平分∠ABCAC于点E

∴∠ABD=∠DBF

OBOD

∴∠ABD=∠ODB

∴∠DBF=∠ODB

∵∠DBF+BDF90°

∴∠ODB+BDF90°

∴∠ODF90°

FD是⊙O的切线;

2)连接AD

AB是⊙O的直径,

∴∠ADE90°

BD平分∠ABCAC于点E

∴∠DBF=∠ABD

RtABD中,BD4

sinABDsinDBF

AD3

∵∠DAC=∠DBC

sinDAEsinDBC

RtADE中,sinDAC

DE

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