题目内容
【题目】如图,△ABC是⊙O的内接圆,且AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,BD平分∠ABC交AC于点E,DF⊥BC交BC延长线于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线.
(2)若,求DE的长.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)连接OD,根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBF,由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ODB,等量代换得到∠DBF=∠ODB,推出∠ODF=90°,根据切线的判定定理得到结论;
(2)连接AD,根据圆周角定理得到∠ADE=90°,根据角平分线的定义得到∠DBF=∠ABD,解直角三角形得到AD=3,求得DE=.
解:(1)连接OD,
∵BD平分∠ABC交AC于点E,
∴∠ABD=∠DBF,
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB,
∴∠DBF=∠ODB,
∵∠DBF+∠BDF=90°,
∴∠ODB+∠BDF=90°,
∴∠ODF=90°,
∴FD是⊙O的切线;
(2)连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∵BD平分∠ABC交AC于点E,
∴∠DBF=∠ABD,
在Rt△ABD中,BD=4,
∵sin∠ABD=sin∠DBF=,
∴AD=3,
∵∠DAC=∠DBC,
∴sin∠DAE=sin∠DBC=,
在Rt△ADE中,sin∠DAC=,
∴DE=.
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