题目内容
如图,已知∠AOB的大小为α,P是∠AOB内部的一个定点,且OP=2,点E、F分别是OA、OB上的动点,若△PEF周长的最小值等于2,则α=( )
A.30° | B.45° | C.60° | D.90° |
如图,作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB于F.此时,△PEF的周长最小.
连接OC,OD,PE,PF.
∵点P与点C关于OA对称,
∴OA垂直平分PC,
∴∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP,
同理,可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP.
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α,OC=OD=OP=2,
∴∠COD=2α.
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2,
∴OC=OD=CD=2,
∴△COD是等边三角形,
∴2α=60°,
∴α=30°.
故选A.
连接OC,OD,PE,PF.
∵点P与点C关于OA对称,
∴OA垂直平分PC,
∴∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP,
同理,可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP.
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α,OC=OD=OP=2,
∴∠COD=2α.
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2,
∴OC=OD=CD=2,
∴△COD是等边三角形,
∴2α=60°,
∴α=30°.
故选A.
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