题目内容
如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是______．
作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴
=
，
∴PM′=PN，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∴MN=
AC
∴PM=PN=1，MN=
∴AC=2
，
AB=BC=2PM=2PN=2
∴△ABC的周长为：2+2+2
=4+2
．
故答案为：4+2
．
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴
| PM′ |
| PN |
| KM′ |
| KM |
∴PM′=PN，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∴MN=
| 1 |
| 2 |
∴PM=PN=1，MN=
| 3 |
∴AC=2
| 3 |
AB=BC=2PM=2PN=2
∴△ABC的周长为：2+2+2
| 3 |
| 3 |
故答案为：4+2
| 3 |
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