Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α= ，有以下的结论：①△DBE∽△ACD；②△ADE∽△ACD；③△BDE为直角三角形时，BD为8或 ；④0＜BE≤5，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADC=180°﹣α﹣∠BDE，
∵∠BED=180°﹣α﹣∠BDE，
∴∠BED=∠ADC
∴△DBE∽△ACD，故①正确；
②∵∠B=∠C，
∴∠C=∠ADE，
不能得到△ADE∽△ACD；
故②错误，
③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα= ，AB=10，
BD=8．
当∠BDE=90°时，易△BDE∽△CAD，
∵∠BDE=90°，
∴∠CAD=90°，
∵∠B=α且cosα= ．AB=10，
∴cosC= = ，
∴CD= ，
∴BD=BC﹣CD= ；
故③正确．
④过A作AG⊥BC于G，∵cosα= ，
∴BG=8，
∴BC=16，易证得△BDE∽△CAD，
设BD=y，BE=x，
∴ = ，
∴ = ，
整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，
即（y﹣8）2=64﹣10x，
∴0＜x≤6.4．
故④错误．
所以答案是：①③．

【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．