Question

【题目】已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2 ，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ED=EC，

∴∠EDC=∠C，

∵∠EDC=∠B，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）方法一：

解：连接AE，

∵AB为直径，

∴AE⊥BC，

由（1）知AB=AC，

∴BE=CE= BC= ，

∵△CDE∽△CBA，

∴ ，

∴CECB=CDCA，AC=AB=4，

∴ 2 =4CD，

∴CD= ．

方法二：

解：连接BD，

∵AB为直径，

∴BD⊥AC，

设CD=a，

由（1）知AC=AB=4，

则AD=4﹣a，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得：

BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2

在Rt△CBD中，由勾股定理可得：

BD2=BC2﹣CD2=（2 ）2﹣a2

∴42﹣（4﹣a）2=（2 ）2﹣a2

整理得：a= ，

即：CD= ．

【解析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和圆周角定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．