Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．

（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；

（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝，求抛物线的解析式；

（3）如图3，已知以直线x＝为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝2x2﹣9x+8；（3）k＝．

【解析】

（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；

（2）△ONA∽△OBN，则OAOB＝ON2＝4，即mn＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，AH═﹣m，tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，化简得：a（n﹣m）＝…②，将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，联立①②③即可求解；

（3）抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），则k＝＝m﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，即可求解．

（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；

（2）ON＝OC＝4，设点A、B的坐标分别为：（m，0）、（n，0），

∠ONA＝∠OBN，则△ONA∽△OBN，则OAOB＝ON2＝4，即mn＝4…①，

则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），

过点M作MH⊥AB交AB于点H，函数的对称轴为：x＝（m+n），

则MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，

AH＝xM﹣xA＝﹣m

tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，

化简得：a（n﹣m）＝…②，

将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，

联立①②③并解得：m＝，n＝，a＝2，

则抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝a（x2﹣mx﹣nx+mn）＝2x2﹣9x+8；

（3）由题意得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；

设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），

则k＝＝m﹣4，

若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，

则点H（，），则HP＝HC，

即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，

化简得：3m2﹣18m+19＝0，

解得：m＝3+（不合题意的值已舍去），

k＝m﹣4＝．