题目内容

【题目】定义:一个矩形的两邻边之比为 ,则称该矩形为“特比矩形”.
(1)如图①,在“特比矩形”ABCD中, = ,求∠AOD的度数;
(2)如图②,特比矩形CDEF的边CD在半圆O的直径AB上,顶点E、F在半圆上,已知直径AB= ,求矩形CDEF的面积;
(3)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为 ,点Q的坐标为(q,2 ),如果在⊙O上存在一点P,过点P作x轴的垂线与过点Q作y轴的垂线交于点M,过点P作y轴的垂线与过点Q作x轴的垂线交于点N,以点P、Q、M、N为顶点的矩形是“特比矩形”,请直接写出q的取值范围.

【答案】
(1)解:如图①中,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°,OA=OC=OD=OB,

∴tan∠ACB= =

∴∠ACB=60°,∵OC=OB,

∴△OBC是等边三角形,

∴∠AOD=∠BOC=60°.


(2)解:如图②中,连接OE,设DE=a,则CD= a,

∵CF=DE,OE=OF,∠FCO=∠EDO=90°,

∴Rt△FOC≌Rt△EDO,

∴OC=OD= a,

在Rt△OED中,OE=

∵OE2=DE2+OD2

=a2+ a2

∴a=1(负根已经舍弃),

∴DE=1,CD=

∴矩形CDEF的面积=1× =


(3)解:如图③中,

①当点P在x轴正半轴上,易知PM=2

∵四边形PMQN是“特比矩形”,

∴MQ= PM=6,此时Q( +6,2 ),

当点P′在y轴的正半轴上时,P′M′=

∵四边形PMQN是“特比矩形”,

∴P′M′= M′Q′,

∴M′Q′=1,

∴Q′(1,2 ),

根据对称性、观察图象可知:点Q的横坐标q的取值范围为1≤≤ +6或﹣ ﹣6≤q≤﹣1.


【解析】(1)由tan∠ACB= = ,推出∠ACB=60°,由OC=OB,推出△OBC是等边三角形即可解决问题.(2)如图②中,连接OE,设DE=a,则CD= a,由Rt△FOC≌Rt△EDO,推出OC=OD= a,在Rt△OED中,OE= ,根据OE2=DE2+OD2 , 列出方程即可解决问题.(3)取两个特殊点,求出点Q的坐标,再根据对称性即可解决问题.

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