Question

如图，直线AB经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，AB=4，半径OC的延长线与过点B的直线交于点D，OC=CD，BC=

1

2

OD．点Q为⊙O上一动点．
（1）若∠BCQ=45°，求弦CQ的长．
（2）在点Q运动的过程中，CQ的与直线AB相交于点P，问PO为何值时，△BCQ是等腰三角形；
（3）当Q点运动时，是否存在点P，使得QP=QO？若存在，满足条件的点有几个？并求出相应的∠BCP；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图，过B作BH⊥CQ，Q为垂足，
∵OC=CD，BC=

1

2

OD．
∴△OCB为等边三角形，BC=2，
∴∠COB=60°，
∴∠CQP=30°，
在Rt△BCH中，∠QCB=45°，
∴CH=BH=2×

1

2

=

2

，
在Rt△BQH中，HQ=

3

BH=

6

，
∴CQ=CH+QH=

2

+

6

；

（2）当BC为腰时，如图，
∴OB垂直平分CQ，
∴PO=1（P点在点O右边）；
当BC为底时（如图），
过Q作BC的垂线必过圆心O，过C作CM⊥OB，M为垂足，
∵∠CQB=

1

2

∠COB=30°，
∴∠QCB=75°，
∴∠PCM=75°-30°=45°，
∴△CPM为等腰直角三角形，
∴PO=PM-OM=

3

-1；

（3）当P在OB之间时，∠BCP=40°；
当P在O点左边时（如图），∠BCP=100度．
当P点在B点右侧，如图，∵OQ=PQ，
∴∠QOP=∠P，
∴∠CQO=2∠P，
∴∠OCP=2∠P，
∴∠P=40°，
∴∠BCP=20°．