题目内容

已知，m是方程x²-3x-1=0的一个根，求证： $数学公式$ 长度的三条线段不能构成三角形．

解：∵m是方程x²-3x-1=0的一个根，
∴m²-3m-1=0，
∴m= $\text{[math]}$ ，
∵m＞0，
∴m= $\text{[math]}$ ，
∴m- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3，m³- $\text{[math]}$ =（m- $\text{[math]}$ ）（m²+1+ $\text{[math]}$ ）=3[（m- $\text{[math]}$ ）²+3]=3×（9+3）=36，
∵3+33=36，
∴ $\text{[math]}$ 长度的三条线段不能构成三角形．
分析：首先由m是方程x²-3x-1=0的一个根，求得m的值，再将m代入m- $\text{[math]}$ 与m³- $\text{[math]}$ 求解，比较三边关系即可证得结论．注意m³- $\text{[math]}$ =（m- $\text{[math]}$ ）[（m- $\text{[math]}$ ）²+3]．
点评：此题考查了方程解的定义，一元二次方程的解法以及立方公式与完全平方公式的知识．注意整体思想的应用是解此题的关键．