Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，于H，，过A点的直线与OC的延长线交于点D，，.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若E为⊙O上一动点，连接AE交直线OD于点P，问：是否存在点P,使得PA+PH的值最小，若存在求PA+PH的最小值，若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）存在，.

试题分析：（1）连接AO，求证即可．
（2）求出OH的长，作A关于OD的对称点F,连接FH交OD于点P，根据对称性及两点之间线段最短可知此点P使PA+PH的值最小.
（1）如图，连接AO.
∵，∴ .
∵AO=CO，∴.∴.
∴AD是⊙O的切线 .

（2）存在.
∵,OA=OC，∴AOC为等边三角形.
在RtAOD中，∵,，∴.
∵，∴ .
如图，作A关于OD的对称点F,连接FH交OD于点P，根据对称性及两点之间线段最短可知此点P使PA+PH的值最小.
∴.∴.
∵,OF=10,∴ ,即PA+PH的最小值为.