Question

【题目】已知：如图，点A在y轴上，⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D（0，3）和点E（0，﹣1）

（1）求经过B、E、C三点的二次函数的解析式；

（2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P（s，t），与x轴交于点M，连接PA并延长与⊙A交于点Q，设Q点的纵坐标为y，求y关于t的函数关系式，并观察图形写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当y=0时，求切线PM的解析式，并借助函数图象，求出（1）中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣1（2）y=﹣t+2（1＜t＜3）（3）＜x＜

【解析】试题分析：（1）已知点D（0，3）和点E（0，-1），可以得到圆的直径，连接AC，根据垂径定理，以及勾股定理就可以求出OB，OE，OC的长度，得到三点的坐标，根据待定系数法就可以求出二次函数的解析式．

（2）过点P作PF⊥y轴于F，过点Q作QN⊥y轴于N，易证△PFA≌△QNA，则FA=NA，即|t-1|=|1-y|，即可得到函数解析式．

（3）当y=0时，Q点与C点重合，连接PB，由PC为 A的直径可以得到PB⊥x轴，就可以求出P点的坐标．求出直线PM的解析式，求出切线PM与抛物线y=x2-1交点坐标，横坐标x的范围就在两个交点之间．

试题解析：（1）连接AC，

∵DE为⊙A的直径，DE⊥BC，

∴BO=CO，

∵D（0，3），E（0，﹣1），

∴DE=|3﹣（﹣1）|=4，OE=1，

∴AO=1，AC=DE=2，

在Rt△AOC中，AC2=AO2+OC2，

∴OC=，

∴C()，B（-），

设经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-)(x+)，

则﹣1=a（0﹣）（0+），

解得a=，

∴y=（x﹣）（x+）=x2﹣1；

（2）过点P作PF⊥y轴于F，过点Q作QN⊥y轴于N，

∴∠PFA=∠QNA=90°，F点的纵坐标为t，N点的纵坐标为y，

∵∠PAF=∠QAN，PA=QA，

∴△PFA≌△QNA，

∴FA=NA，

∵AO=1，

∴A（0，1），

∴|t﹣1|=|1﹣y|，

∵动切线PM经过第一、二、三象限

观察图形可得1＜t＜3，﹣1＜y＜1；

∴t﹣1=1﹣y．

即y=﹣t+2．

∴y关于t的函数关系式为y=﹣t+2（1＜t＜3）

（3）当y=0时，Q点与C点重合，连接PB，

∵PC为⊙A的直径，

∴∠PBC=90°，

即PB⊥x轴，

∴s=﹣，

将y=0代入y=﹣t+2（1＜t＜3），得0=﹣t+2，

∴t=2，P（﹣，2），

设切线PM与y轴交于点I，则AP⊥PI，

∴∠API=90°

在△API与△AOC中，

∵∠API=∠AOC=90°，∠PAI=∠OAC

∴△API≌△AOC，

∴

∴I点坐标为（0，5）

设切线PM的解析式为y=kx+5（k≠0），

∵P点的坐标为(﹣，2)，

∴2=﹣3 k+5．

解得k=，

∴切线PM的解析式为y=x+5，

设切线PM与抛物线y=x2﹣1交于G、H两点

由可得x1=，x2=，

因此，G、H的横坐标分别为、，

根据图象可得抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围是＜x＜.