题目内容
【题目】2015朝阳)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且∠BDE=∠A.
(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若AC=16,tanA= , 求⊙O的半径.
【答案】
(1)
解: DE与⊙O相切.理由如下:
连接DO,BD,如图,
∵∠BDE=∠A,∠A=∠ADO,
∴∠ADO=∠EDB,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠ODB+∠EDB=90°,即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE为⊙O的切线;
(2)
解:∵∠BDE=∠A,
∴∠ABD=∠EBD,
而BD⊥AC,
∴△ABC为等腰三角形,
∴AD=CD=AC=8,
在Rt△ABD中,∵tanA==
,
∴BD=×8=6,
∴AB==10,
∴⊙O的半径为5.
【解析】(1)连接DO,BD,如图,由于∠BDE=∠A,∠A=∠ADO,则∠ADO=∠EDB,再根据圆周角定理得∠ADB=90°,所以∠ADO+∠ODB=90°,于是得到∠ODB+∠EDB=90°,然后根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线;
(2)利用等角的余角相等得∠ABD=∠EBD,加上BD⊥AC,根据等腰三角形的判定方法得△ABC为等腰三角形,所以AD=CD=AC=8,然后在Rt△ABD中利用正切定义可计算出BD=6,再根据勾股定理计算出AB,从而得到⊙O的半径.
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理的相关知识点,需要掌握切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题.

【题目】某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克,并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售.这批干果销售结束后,店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量,且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1(千克)与x的关系为y1=﹣x2+40x;乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2(千克)与t的关系为y2=at2+bt,且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:
t | 1 | 2 | 3 |
y2 | 21 | 44 | 69 |
(1)求a、b的值;
(2)若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛利润是多少元?
(3)问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克? (说明:毛利润=销售总金额﹣进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计)